Точно не «Гранд Будапешт»: что такое парадокс бесконечного отеля
Может ли YouTube просвещать? Да, если речь идет о проекте TED Ed. Что вы знаете о бесконечности? Немецкий математик Давид Гильберт в 1920-х годах разработал модель, наглядно демонстрирующую, насколько сложно осмыслить саму идею бесконечности.
Всего-то и нужно представить себе гостиницу с бесконечным количеством комнат. И очень трудолюбивым ночным администратором. Каким-то образом ночью отель оказывается забит под завязку — соответственно, мы имеем бесконечное количество гостей. Внезапно заходит человек и просит комнату, а администратор, вместо того, чтобы ему отказать, решает освободить для него одну комнату в этом бесконечном отеле. Для этого просто нужно переселить постояльца из номера 1 в номер 2, постояльцу из второго — в третий. И так далее. То есть каждый переселится из номера n в номер n + 1, и каждому хватит места, потому что количество номеров в гостинице бесконечно.
Это ладно. А вот потом у гостиницы останавливается автобус — очень длинный автобус со счетно бесконечным количеством пассажиров. Что же происходит тогда? Тогда наш хорошо образованный ночной администратор просит постояльца из номера 1 перейти в номер 2, из номера 3 в номер 6, из 4 в 8, из 5 в 10 и так далее. Смысл в том, что все клиенты из номера n переезжают в номер 2n. Таким образом они заполняют бесконечное количество комнат с четным номером, а освобождается бесконечное количество комнат с нечетным, куда вселятся новые гости из только что прибывшего бесконечного автобуса.
Гостиница получает еще большую прибыль (ну, то есть такую же бесконечно большую, как и обычно), гостям есть где переночевать, механизм отлажен, менеджер всех спас. Остается недовольной одна только уборщица.
И вот отель становится мировой достопримечательностью — его бесконечные просторы хотят увидеть туристы со всего света. И вот однажды наш ночной менеджер видит бесконечную череду бесконечных автобусов со счетно бесконечным количеством пассажиров в каждом. Что же делать? Если не найти номеров, можно понести бесконечные убытки (а вы как хотели? это же бесконечный отель). Как не потерять работу?
Но наш менеджер, как мы помним, хорошо образован, и помнит, что в районе 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно. Какая же формула сработает на этот раз? Обозначаем каждый автобус простыми числами — 3, 5, 7, 11 и так далее... Также нам понадобятся номера сидений каждого из пассажиров — они станут степенями. То есть, например, пассажира автобуса под номером 3 с сидением номер 7 мы поселим в комнату номер 2187, потому что это 3 в 7 степени. Степени следующего простого числа (а это 5) занимают пассажиры следующего автобуса — так номера комнат ни у кого не совпадут. И так далее до бесконечности.
Эта гостиница будет функционировать на уровне счетной бесконечности натуральных чисел. На более высоком уровне все было бы совсем иначе — были бы отрицательные комнаты (скажем, в подвалах и на подземных этажах), дробные комнаты (в которых постояльцы подозревают, что у них потолок вдвое ниже, чем у других), квадратные корни и прочие неудобства. Ну вот и как можно постичь бесконечность в этом случае? Да даже за бесконечную зарплату работать в такой гостинице не возьмется никто!
Все подробности того, почему нашим ограниченным умом так сложно объять вроде бы понятную идею бесконечности, узнаете из YouTube-ролика от TED Ed:
